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Pavage de type Pgg

 
Le pavage Pgg est le deuxième pavage comportant des symétries glissées, deux exactement d’axes perpendiculaires. La présence de ces symétries glissées donne un pavage où le motif de base est à l’endroit et à l’envers (retournement d’un point de vue mathématique). A partir d’un motif de base le pavage peut se construire avec, autres que les translations comme tous les pavages, des symétries centrales et des symétries glissées. La construction d’un pavage Pgg est assez complexe.
  • Le groupe Pgg contient deux catégories de motifs de base que nous allons étudier sur des exemples.

Motif de base PGGA

-  Le motif de base est un hexagone.

  • les côtés C1 etC4 s’obtiennent par symétrie glissée.
  • Les côtés C3 et C5 s’obtiennent par une autre symétrie glissée d’axe perpendiculaire à la première symétrie glissée.
  • Les côtés C2 et C6 possèdent un centre de symétrie.

Dans le motif de base présenté, l’un des deux arcs possédant un centre de symétrie est ramené à un point, ce qui fait que le motif de base est un pentagone. Pour construire plus facilement un motif de base répondant à ces impératifs, on ne partira pas d’un pentagone, mais d’un rectangle, donnant facilement les deux directions des axes perpendiculaires des symétries glissées. Il est conseillé de travailler sur un papier quadrillé.

    • Construction pas à pas du motif de base.
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Construire un rectangle IBEC
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Construire un arc C1 d’extrémités A et B, A sur[IB].
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Décalquer l’arc C1, le retourner et le placer pour avoir C3 :A vient sur D, B vient sur C, D étant sur le segment [CE].(Cette transformation est une symétrie glissée d’axe(IC).
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Construire un arc C2 d’extrémités B et D.
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Placer F sur (AB) tel que I soit le milieu de [AF].Décalquer l’arc C2, le retourner et le placer pour avoir C4 :B vient sur C, et D vient sur F. ].(Cette transformation est une symétrie glissée d’axe(IB).)
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Dessiner un arc d’extrémités F et I.
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Construire le symétrique de l’arc [FI] dans la symétrie de centren I.
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On a alors le motif de base.
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Motif de base sans les traits de construction.
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A l’intérieur on dessine ce que l’on veut.

-  Pour paver le plan :

  • A partir du chat orange a, on passe au chat vert b par une symétrie glissée d’axe horizontal.
  • A partir du chat vert b, on passe au chat violet c par une symétrie glissée d’axe vertical.
  • A partir du chat violet c, on passe au chat gris d par une symétrie glissée d’axe horizontal.
    • On obtient alors le motif minimum translatable. C’est un ensemble minimum de motifs de base, ici quatre chats, à partir duquel on peut paver le plan uniquement par translations.
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Quatre chats :motif minimum translatable.
    • Un pavage final possible
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LES CHATS
 

 
 
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