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Pavage de type P1

 

Le pavage P1 est un pavage où à partir d’un motif de base le pavage du plan n’est obtenu que par des translations du motif de base. Le motif de base de ce pavage obéit à des règles mathématiques que nous allons étudier .

Le motif de base du groupe P1

Le motif de base est la plus petite surface à partir de laquelle on pave le plan par des translations.

Hexagone de départ (JPEG)

Le motif de base est un hexagone composé de six côtés qu’on nommera C1 ;C2 ;C3 ;C4 ;C5 ;C6 vérifiant les propriétés suivantes :

C1 et C4 sont deux arcs translatés C2 et C5 sont deux arcs translatés C2 et C6 sont deux arcs translatés

On peut ensuite dessiner sur chaque arc en effectuant le même schéma sur son translaté

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Le motif de base est un hexagone composé de six côtés qu’on nommera C1 ;C2 ;C3 ;C4 ;C5 ;C6 vérifiant les propriétés suivantes :
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Contour du motif

Quand le contour du motif est construit, à l’intérieur du motif de base on dessine ce que l’on veut.

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Contour et intérieur

Pour paver le plan on effectue ensuite les translations de vecteur AE ;AF ;AC .

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Translations du motif

Présentation du pavage P1 dans les sept pavages du plan

Le 2.Le palais de l’Alhambra est un p1

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Le palais de l’Alhambra :motif de base
  • le motif de base est un hexagone ; Les arcs translatés deux à deux sont d’une même couleur.

Le 3. Dallage en pierre d’une rue à Tokay est un p1

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Dallage en pierre d’une rue :motif de base
  • le motif de base est un hexagone ; Les arcs translatés deux à deux sont d’une même couleur.

Motif de base, cas particulier du motif général précédent

  • On peut aussi partir d’un parallélogramme, qui est en fait un cas particulier du cas précédent. En effet si l’hexagone a perdu deux côtés ramenés à un point on a alors un parallélogramme.
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Parallélogramme de départ
Le motif de base est un parallélogramme ABCD. AB et BD sont translatés l’un de l’autre ainsi que AD et BC.

On peut ensuite dessiner sur chaque arc en effectuant le dessin sur chaque translaté.

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Dessin sur les côtés

Quand le contour du motif est construit, à l’intérieur du motif de base on fait ce que l’on veut.

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Contour et intérieur

Pour paver le plan on effectue ensuite les translations de vecteur AB et AD.

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Translations du motif

Dans les sept pavages du plan le

1.carrelage provençal

est un P1.

Im

  • le motif de base est un parallélogramme. Les arcs translatés sont faits d’une même couleur

On peut aussi faire un double motif à l’intérieur. Ainsi dans les sept pavages du plan le 9.Les oiseaux (Escher), le motif de base est obtenu aussi à partir d’un parallélogramme et Escher a dessiné deux oiseaux à l ’intérieur de ce motif.

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Les oiseaux :motif de base
  • On pourra orienter les élèves ayant plus de mal que les autres à faire un pavage à partir d’un parallélogramme, ce qui n’offre pas autant de possibilités que si l’on part d’un hexagone mais qui est plus simple.
 

 
 
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