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Pavage de type Pg

 
Ce qui caractérise ce groupe c’est que le pavage du plan ne peut pas se faire sans retourner le motif de base. On a ainsi des motifs à l’endroit et à l’envers.
  • Le groupe Pg contient deux catégories de motifs de base que nous allons étudier sur des exemples.

Motif de base PGA

-  Le motif de base est un hexagone.

  • les côtés C3 etC6 s’obtiennent par translation.
  • Les côtés C1 et C5 s’obtiennent par symétrie glissée d’axe perpendiculaire à la translation.
  • Les côtés C2 et C3 s’obtiennent par une autre symétrie glissée d’axe perpendiculaire à la translation.

Pour construire plus facilement un motif de base répondant à ces impératifs, on ne partira pas d’un hexagone, mais d’un rectangle. Il est conseillé de travailler sur un papier quadrillé.

    • Construction pas à pas du motif de base.
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Tracer un rectangle ABCD
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Tracer un arc BE
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Tracer l’arc FD translaté de l’arc BE dans la translation de vecteur BA
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Tracer un arc GB
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Calquer l’arc GB le retourner en effectuant une symétrie glissée d’axe (BC) et en placant le point qui était en G en E.
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Tracer un arc entre G et F ;
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calquer l’arc GF, le retourner en effectuant une symétrie glissée d’axe (AD), le point qui était en G vient en D et celui qui était en F en H.C’est le motifde base.
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A l’intérieur du motif de base on dessine ce que l’on veut.
    • Pour paver le plan observer le schéma ci-dessous
  • On a nommé quatre tigres a,b,c,d.
  • En partant de tigre a on passe au tigre b par une translation de vecteur AB.
  • En partant de tigre a on passe au tigre c par une symétrie glissée d’axe D.
  • En partant de tigre a on passe au tigre d par une symétrie glissée d’axe D.
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Pavage à partir du tigre a
  • On a alors le pavage suivant
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Les tigres
    • Les éléphants
  • Un autre exemple de pavage.
  • En partant d’un carré ABCD,
  • Les deux arcs EF et IJ sont translatés dans la translation de vecteur AB.
  • Les deux arcs verts sont dans une symétrie glissée d’axe (AD)
  • Les deux arcs bleus sont dans une autre symétrie glissée d’axe (AD)
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Carré ABCD
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Les Elephants
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Motif de base

Motif de base PGB

-  Le motif de base est un hexagone.

  • les côtés C3 etC6 s’obtiennent par translation.
  • Les côtés C1 et C2 s’obtiennent par symétrie glissée d’axe parallèle à la translation.
  • Les côtés C4 et C5 s’obtiennent par une autre symétrie glissée d’axe parallèle à la translation.

Pour construire plus facilement un motif de base répondant à ces impératifs, on ne partira pas d’un hexagone, mais d’un rectangle. Il est conseillé de travailler sur un papier quadrillé.

    • Construction pas à pas du motif de base.
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Dessiner unrectangle ABCD
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Dessiner un arc EF,E sur [AB],F sur [BC]
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Dessiner l’arc translaté de l’arc EF ddans la translation de vecteur BA
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Dessiner un arc GI, I étant un point de la médiatrice de [GE]
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Calquer l’arc GI, le retourner par une symétrie glissée d’axe (AB), le point qui était en G vient en I et celui qui était en I en E.
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Dessiner un arc HJ, J sur la médiatrice de [CD]
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Calquer l’arc HJ, le retourner et le faire glisser par une symétrie glissée d’axe (AB),le point H vient en J et J en F.

On obtient alors le motif de base. A partir de ce motif de base on peut réaliser trois pavages différents, identiques d’un point de vue mathematique, différents d’un point de vue esthétique.

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Les Egyptiennes
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Les poissons_chats
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Les oiseaux
 

 
 
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